MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO ONLINE GRATIS

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS Y APLICADAS

Matemáticas 4 ESO

En este curso online de matemáticas para 4º de E.S.O. encontrarás todos los bloques temáticos, tanto para la asignatura de matemáticas académicas como para Matemáticas Aplicadas. Utiliza la barra de desplazamiento izquierda para localicar el tema concreto que te interese.

 

En general, los contenidos para 3º y 4º de E.S.O. son iguales en todas las comunidades autónomas en España. Hay pequeñas diferencias que deberás revisar con el temario de tu libro de texto. Sólo tienes que comprobar qué capítulos tienes y acceder a ellos desde el menú de la izquierda. La correspondencia del temario para América Latina es similar a un Grado de Educación Media o Secundaria.

 

 En cada unidad didáctica encontraras un apartado de teoría, seguido de una serie de ejercicios propuestos y una explicación en vídeo que engloba la teoría y la resolución de los ejercicios.

 

¡Comenzamos!

Nota: Actualmente el curso está en proceso de construcción. Poco a poco se irá completando el contenido del mismo. 

1.1 LOS NÚMEROS ENTEROS

INTRODUCCIÓN

Vamos a dedicar esta sección del curso online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media) a un repaso de las operaciones con números enteros. Hay que recordar que estos números son una ampliación del conjunto de números naturales para dar sentido a ciertas operaciones como la resta. Hay 3 clases de cúmeros enteros:

 

  • Los enteros positivos: Son los números naturales (1,2,3,...)
  • Los enteros negativos: -1, -2, -3,...
  • El cero

 

Los números enteros pueden representarse gráficamente en una recta, en la que el cero aparece como término central. A la izquierda del cero se encuentran los negativos y a la derecha los positivos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esta representación sugiere un método para ordenar los números enteros, de forma que, el mayor de un conjunto será el que se encuentre más a la derecha de la recta de representación. Del mismo modo, el menor será el que se encuentre más a la izquierda.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO

Se define como la distancia desde el número al centro ( el cero ) de la recta de representación. El valor absoluto siempre será positivo o cero. Se denota con el símbolo │x│, donde x es el número.

 

 

Ejemplos: â”‚3│ = 3 ; â”‚-3│=3 ; │ 0 │= 0

OPUESTO DE UN NÚMERO

El opuesto de un número tiene el mismo valor absoluto pero con el signo contrario. Para encontrar el opuesto de un número entero, basta con cambiar el signo de dicho número.

 

Ejemplos: El opuesto de 3 es -3. El opuesto de -17 es 17.

1.2 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Cuando los números tienen el mismo signo, se suman y se mantiene el signo.

 

Ejemplo: (+3)+(+5)= 3 + 5 = 8 ;            (-1) + (-5) + (-9) = -1 + -5 + -9 = -15 

 

Cuando los números son de distinto signo, se restan sus valores absolutos, y el signo resultante sera el del mayor valor absoluto.

 

Ejemplo: (+6) + (-2) = 6-2 = +4 ;            (-15) + (+7) = 15 - 7 = (-8)

 

La suma de un número con su opuesto es cero.

 

Ejemplo: (+2) + (-2) = 0

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

La resta se transforma en una suma utilizando el elemento opuesto.

 

a - b = a + (-b)

 

Ejemplo: (+2) - (+5) = (+2) + (-5) = 2 + -5 = -3 ; 

SUMA Y RESTA COMBINADAS

En general, cuando aparecen sumas y restas combinadas en una misma operación, la escribiremos de forma simplificada de acuerdo con el siguiente criterio:

 

  • Si delante de un paréntesis aparece un signo + (habitualmente no aparece ningún signo), escribiremos el número tal y como está:
    •  Ejemplo: + ( -3 + 4 )= -3 + 4 = 1

 

  • Si delante de un paréntesis  aparece un signo menos, escribiremos el opuesto del número que hay en su interior.
    • Ejemplo: -( -6 + 9 )= 6 - 9 = -3

 

  • Después de eliminar los paréntesis tendremos una colección de números positivos y negativos, que sumaremos por separado, calculando el resultado final.
    • Ejemplo: (-3) + (+8) - (+4) - (-1) = (-3) + (+8) + (-4) + 1 = 9 + -7 = 9 - 7 = 2

 

  • Cuando hay varios niveles de paréntesis, repetiremos los pasos en orden inferior a mayor ( paréntesis, corchetes, llaves, etc...) eliminando en cada paso un nivel:
    • Ejemplo: (-2)-{[(+7)-(-1)]+(-12)} = -2 - {[7+1]-12} = -2-{7+1-12} = -2 -7 -1 +12 = -10 +12 = 2

 

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Recordemos la regla de los signos:

 

(+) * (+) =  (+)        (+) :(+)   = (+)

(+) * (-)  =  (-)        (+) : (-)   = (-) 

(-) (+)  =  (-)        (-)  :(+)   = (-) 

(-)  * (-)  = (+)        (-)  : (-)   = (+) 

 

Ejemplos:  (+3) * (+3) = 9 ; (-3) * (+3) = -9 ; (+12) : (+4) = 3 ; (+12) : (-4) = -3

PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES

 En ausencia de paréntesis y corchetes que no incluyan las operaciones existe un orden en el que deben ejecutarse las mismas:

 

1. Potencias y raíces.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas.

 

Ejemplos (-7) * (-2) - (-1) * 4 = 14 - (-4) = 18

 

 

En caso de que haya expresiones que tengan paréntesis y combinen operaciones de suma ( o resta) y multiplicación ( o división), tendremos que resolver antes el interior de los paréntesis.

 

Ejemplo: 5 * ( 3-2) = 5 * 1 = 5

(5+(-2)) * (-3) - 2 = 3 * (-3) - 2 = (-9) - 2 = -11

 

En las divisiones puestas en forma de fracción, tenemos que tener en cuenta que cada término de la misma actúa como un paréntesis:

 

Ejemplos: 

Descargar Ejercicios propuestos Unidad 1

2.1 FRACCIONES Y NUMEROS DECIMALES

INTRODUCCION

En el segundo apartado del curso online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media) nos centraremos en las fracciones y los números decimales.

 

 Cuando dividimos dos números enteros el resultado puede ser otro número entero ( la división es exacta).

 

Ejemplos:          6 : 3 = 2

(-24) : 8 = -3

 

En cambio, otras veces el resultado de la división no es exacto, en estos casos, da lugar a un número decimal:

 

Ejemplos:        (-3) : 2 = -1,5

3 : 4 = 0,75

1 : 3 = 0,33333...

 

Llamados fracción al cociente indicado de dos números enteros. El resultado de la misma es su expresión decimal.

 

 

 

 

 

 

  FRACCIÓN     EXPRESIÓN DECIMAL

 

 

Es importante saber como se pasa de la forma de fracción a la forma decimal y viceversa. Lo veremos en los dos puntos siguientes

PASO DE UNA FRACCIÓN A SU EXPRESIÓN DECIMAL

Para hallar la forma decimal de una fracción basta con realizar la división entre el numerador (el número de la parte superior) y el denominador (el número de l parte inferior).

Para ello podemos emplear la calculadora.

Al hacerlo pueden presentarse cuatro casos:

 

a) El resultado de la división es un número entero.

8 : 2 = 4

12 : 6 = 2

 

b) El resultado es un número decimal exacto. Es decir, tiene un número finito de decimales.

5 : 4 = 1,75

3 : 8 = 0,375

 

c) El resultado es un número decimal periódico puro. Es decir, las cifras decimales se repiten indefinidamente a partir de la coma.

2 : 3 = 0,6666666... ( el periodo es 6)

1526 : 333 = 0,457845784578... (el periodo es 0,4578)

 

d)El resultado es un número decimal periódico mixto. Es decir, las cifras decimales se repiten pero no justo después de la coma.

37 : 30 = 1,23333333... (el periodo es 3)

65 : 198 = 0.328282828.... (el periodo es 28)

PASO DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO O PERIÓDICO A SU FORMA DE FRACCIÓN

 

Cualquier número decimal exacto o periódico puede ser expresado en forma de fracción. El procedimiento conlleva resolver un ecuación.

 

a) Decimal exacto: tomemos como ejemplo 1,25

 

1 - Llamamos x al número 1,25. 

 

X = 1,25

 

2 - Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para eliminar los decimales. (En el caso del ejemplo hay dos decimales, por tanto, multiplicamos por 100)

 

100x = 125

 

3 - Despejamos la X

 

 

 

 

Por tanto, en nuestro ejemplo resulta 

 

 

 

 

 

Podemos comprobar que si dividimos 125 entre 100 resulta 1,25.

 

 

b) Decimal periódico puro: tomemos como ejemplo 2,36

 

1 -Llamamos x al número.

 

X=2,363636

 

2 - Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para trasladar el pinto decimal hasta después del primer periodo: (en el ejemplo, multiplicamos por 100)

 

 

100x = 236,36363636

 

3 - Restamos las dos expresiones anteriores:

 

x = 2,363636

-

100x=236,363636


99x = 234


4 - Despejamos

 

 

 

 

 

La representación en forma de fracción será:

 

 

 

 

 

 

 

c) Decimal periódico mixto: tomemos como ejemplo 3.123

 

1 - Llamamos x al número

 

x = 3,1232323

 

2 - Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para llevar el punto decimal hasta antes del primer periodo. En nuestro caso como solo hay una cifra decimal, multiplicamos por 10.

 

10x = 31,232323


3 - Multiplicamos otra vez la ecuación anterior por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para trasladar el punto decimal hasta después del primer periodo ( en nuestro caso multiplicamos por 100). 


 

1000x = 3123,2323

 

4 - Restamos miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores :

 

10x =31,232323

-

1000x = 3123,232323


990x = 3092

 

5 - Despejamos 

 

 

 

 

 

Por tanto, la expresión de este número en forma de fracción será: 

NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

 

Hay números decimales que no pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Estos no pueden ser ni enteros, ni exactos, ni periódicos, ya que hemos visto que estos tipos de números si pueden expresarse en forma de fracción.

 

Si un número puede expresarse como una fracción de dos enteros, diremos que se trata de un número racional.

 

En el caso contrario, el número no puede expresarse como una fracción de dos enteros, diremos que se trata de un número irracional.

 

Todos los números que hemos visto en el apartado anterior son racionales. Los números irracionales serán números con infinitos decimales que no se repiten (no son periódicos)

 

Ejemplos:

1,0100010000101000010100001010001...

 

Las raíces de los números que no son cuadrados perfectos dan como resultado números irracionales.

 

 

 

El número 

2.2 FRACCIONES EQUIVALENTES. SIMPLIFICACION

INTRODUCCIÓN

En este apartado del curso online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media), estudiaremos la equivalencia entre fracciones, y el cálculo del M.C.D y el m.c.m.

EQUIVALENCIA DE FRACCIONES

 

Observa la expresión decimal de las siguientes fracciones:

 

 

 

 

Las tres fracciones corresponden al mismo decimal. Cuando eso ocurre decimos que estas fracciones son equivalentes.

Lo expresamos así:


 

 

 

 

Una propiedad que nos permite distinguir fracciones equivalentes es la siguiente:

 

 

 

 

Es decir, cuando las fracciones son equivalentes los productos cruzados de sus términos son iguales.

 

Ejemplo:

 

son fracciones equivalentes, ya que 3 * 8 = 24 y 4 * 6 = 24; por tanto 3 * 8 = 4 * 6.

 


¿CÓMO CONSEGUIR FRACCIONES EQUIVALENTES?

 

Si multiplicamos o dividimos los dos términos de una fracción por un número distinto de cero, la nueva fracción resulta equivalente a la primera:

 

 

 

 

 

Ejemplo:

 

Podemos construir una fracción equivalente a          multiplicando por ejemplo por 3.

 

 

 

 

 

Comprobemos que son equivalentes: 4*30 = 120 y 10*12 = 120. Son equivalentes

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

 

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente pero con los términos lo más sencillos posibles.

A esta fracción obtenida se le llama fracción irreducible El procedimiento consistirá en dividir por el mismo número los

dos términos.

 

Vamos a simplificar la fracción 

 

 

Vemos que los términos 10 y 15 se pueden dividir por 5:

 

 

 

 

Luego la fracción simplificada será:

 

 

Si los términos de una fracción son muy grandes, probaremos a ver si son divisibles por 2, 3 y 5. Con esto será suficiente

a efectos prácticos.


 

Simplificar la fracción 

 

El denominador no es divisible entre 2, ninguno es divisible entre 5, pero si lo son entre 3:

 

 

 

 

 

 

Simplificar la fracción 

 

 

Dividimos por 1000 (quitamos tres ceros) en cada término,

 

 

 

 

y nos queda la fracción        .

 

 

Ahora dividimos por 15:

 

 

 

 



FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS

 

Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. En caso contrario se dice que es impropia.

 

 

son fracciones propias.

 

 

 

son fracciones impropias.

 

 

Una fracción impropia puede escribirse como un número mixto, es decir, un número entero y una fracción propia.

 

 

La fracción impropia , puede escribirse como , que quiere decir:

 

 

 

 

 


 


MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

 

Para trabajar con fracciones será necesario que domines con soltura el cálculo del Máximo Común Divisor (M.C.D.) y el

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.). Recordemos los procedimientos:

 

Tanto para uno como para otro, el paso previo consiste en factorizar (expresar como un producto de factores primos)

los número.

 

En el caso del M.C.D. solo tomaremos los factores comunes con el menor exponente.

 

En el caso del m.c.m. tomaremos todos los factores, y entre los comunes los de mayor exponente.

 

Ejemplos:

 

Calcular el Máximo Común Divisor de los números 15, 9 y 30:

 

Factorización

 

15 = 5 * 3

9 = 3^2

30 = 2 * 3 * 5

 

Tomaremos el 3. Es el único factor que está en los 3 números. M.C.D. (15 , 9, 30) = 3

 

Calcular el mínimo común múltiplo de los números 15, 9 y 30:

 

Factorización

 

15 = 5 * 3

9 = 3^2

30 = 2 * 3 * 5

 

Tomaremos los factores 2, 3^2, y 5. m.c.m. (15,9,30) = 2 * 3^2 * 5 = 90

 

En el caso en que los números sean múltiplos entre sí, el cálculo del M.C.D. y el m.c.m. se simplifica:

 

El M.C.D. será el más pequeño de los números.

El m.c.m. será el más grande de los números.

2.3 OPERACIONES CON FRACCIONES

INTRODUCCION

En este capítulo del curso online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media), estudiaremos las operaciones básicas con fracciones. Suma y resta de fracciones, multiplicación,  y división.

 

Comenzaremos con la multiplicación:

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar dos fracciones, multiplicaremos sus numeradores y sus denominadores por separado.

 

 

 

 

La fracción resultante de la multiplicación es el producto.

 

Ejemplo:  Encuentra el producto de              , simplificando el resultado.

 

 

 

Multiplicamos las dos fracciones:

 

 

Después, simplificaremos la fracción producto:

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir dos fracciones, se invierte la segunda fracción (es decir, se intercambia el numerador y el denominador) y luego se cambia el signo de la división por la multiplicación:

 

 

 

 

 

 

La fracción resultante de la división es el cociente.

 

 

Ejemplo: Calcula los siguientes cocientes, simplificando.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

En la suma y resta de fracciones podemos diferenciar dos casos. Fracciones con el mismo denominador o fracciones con

diferente denominador.

 

  • Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

 

 

 

 

 

  • Si las fracciones tienen distinto denominador, primero habrá que buscar fracciones equivalentes con el mismo denominador. Para ello es aconsejable usar el m.c.m. de los denominadores.

 

 

 

 

Ejemplo: Calcula la suma de:

 

Dado que los denominadores son distintos, será necesario calcular su m.c.m para obtener las fracciones equivalentes que permitan la suma.

El m.c.m. de 2 y 3 es el producto de ellos mismos. 2 * 3 = 6. Las nuevas fracciones equivalentes deberán tener como denominador el 6.

 

En la primera fracción, debemos multiplicar por 3:

 

 

 

 

En la segunda fracción, debemos multiplicar por 2:

 

 

 

 

 

Una vez que tenemos las fracciones equivalente, procedemos a sumarlas:

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo: Calcula la suma de 

 

 

 

[m.c.m (6,8) 8=2*4 ; 6=2*3; mcm=2*3*4=24]

SUMA Y RESTA COMBINADAS. ELIMINACION DE PARÉNTESIS

En general, las fracciones se escriben de forma simplificada (igual que los números enteros).

 

Veamos algunos ejemplos:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En el caso de las operaciones combinadas donde se incluyan paréntesis, seguiremos el mismo criterio que con los números enteros:

 

  • En sumas y restas, si delante del paréntesis va un signo + se elimina el paréntesis sin cambiar de signo.
  • En sumas y restas, si delante del paréntesis va un signo - se elimina el paréntesis cambiando todos los signos del interior.

 

 

Cuando haya también productos y cocientes, tendremos en cuenta la jerarquía de las operaciones:

 

  • Primero se efectúan los paréntesis.
  • Luego los productos y cocientes.
  • Por últimos las sumas y las restas.

 

 

 

Ejemplo: Calcular

 

 

Primero resolvemos por separado cada paréntesis:

 

 

 

 

 

 

 

 

Multiplicamos los dos resultados anteriores:

2.4 APLICACION DE LAS FRACCIONES. PORCENTAJES

INTRODUCCIÓN

Continuamos este curso online de Matemáticas de 4ª de E.S.O. (grado de secundaria o grado de educación media) con una de las aplicaciones de las operaciones con fracciones.

 

Una vez manejamos con cierta soltura las fracciones, vamos a ver algunas de sus múltiples utilidades. Comenzaremos viendo diversos significados del concepto de fracción. Después estudiaremos el cálculo de porcentajes y problemas de aplicación.

SIGNIFICADOS DEL CONCEPTO DE FRACCIÓN

  • Ya hemos visto un significado del concepto de fracción: es una forma de escribir la división de dos números enteros.
  • Otro significado quizá más intuitivo es que una fracción representa una parte de un objeto o una cantidad. Por ejemplo cuando hablamos de las     partes de un rectángulo estamos haciendo referencia al área sombreada del siguiente dibujo:

 

 

 

En el caso de la fracción impropia        , el dibujo apropiado sería el siguiente:

 

 

 

 

 

 

Cuando el objeto es una cantidad numérica, la actuación de la fracción es formalmente la misma: se divide la cantidad en tantas partes como indique el denominador de la fracción y se multiplica por las veces que indique el numerador.

 

Ejemplo:  Calcula los 

 

Dividiremos 15 entre 5 y multiplicamos por 2:

15:5=3; 3*2=6

 

Los       de 15 son 6.

 

 

Estas dos operaciones se pueden fundir en un producto de fracciones:


PROBLEMAS RELACIONADOS CON LAS FRACCIONES

Vamos a ver a continuación algunos ejemplos de problemas donde tenemos que usar operaciones con fracciones:

 

1.- Pedro comienza el día con 3600 pesetas. Por la mañana se gasta     del total, y por la tarde la mitad de lo que le queda. ¿Cuanto dinero le queda para el día siguiente?

 

Veamos lo que se gasta por la mañana:

 

 

 

Le quedan entonces 3600 - 2400 = 1200 pesetas.

 

Por la tarde se gasta la mitad de lo que le queda:

 

 

 

 

 

Por tanto para el día siguiente le queda:   1200 - 600 = 600 pesetas.

 

 

 

2.- Juan ha pintado      de su habitación el lunes y      de la misma el martes. ¿qué porción de la habitación ha pintado en total? ¿ Cuánto le queda por  pintar?

 

El total de la pintura es lo que ha pintado el lunes más lo que ha pintado el martes:

 

 

 

 

Esto significa que del total de la habitación le queda:

CÁLCULO DE PORCENTAJES

Un tipo de magnitud muy relacionada con las fracciones y muy utilizada en la vida diaria son los porcentajes o tantos por ciento.

 

La palabra porcentaje significa "por cada 100". Los porcentajes se denotan con el símbolo %, de forma que 5% significa "5 de cada 100"; esto se puede escribir en forma de fracción del siguiente modo:

 

 

5%

 

 

La afirmación "el 40 por ciento de los alumnos del colegio

Descargar Ejercicios propuestos Unidad 2

3.1 POTENCIAS

3.2 EXPRESIONES CON RAICES

4.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4.2 FACTORIZACION

4.3 FRACCIONES ALGEBRAICAS

5.1 ECUACIONES

5.2 PROBLEMAS DE ECUACIONES

5.3 INECUACIONES

6.1 RAZONES TRIGONOMETRICAS

6.2 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE CUALQUIER ANGULO

6.3 EXPRESIONES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

6.4 RESOLUCION DE TRIANGULOS GENERALES

7.1 VECTORES EN EL PLANO

7.2 VECTORES CON COORDENADAS

7.3 LA RECTA EN EL PLANO

7.4 POSICIONES DE RECTAS. PROBLEMAS GEOMETRICOS

8.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES

8.2 SUCESIONES MONOTONAS Y SUCESIONES ACOTADAS. LIMITE

8.3 CALCULO DE LIMITES DE SUCESIONES

8.4 LIMITES DE POTENCIAS. EL NUMERO e

9 FUNCIONES 

10 INTRODUCCION A LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA 

FIN