ECUACIONES 

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS Y APLICADAS      CURSO 4º E.S.O.

CONTENIDO DEL TEMA

 

  • Ecuaciones
    • Ecuaciones de primer grado
    • Ecuaciones de segundo grado
    • Factorización de polinomios de segundo grado
    • Ecuaciones de primer grado superior
    • Ecuaciones con raíces (irracionales)

 

  • Problemas de ecuaciones
    • Introducción
    • Lenguaje algebraico
    • Pasos en la resolución de problemas
    • Fórmulas y ecuaciones

 

  • Inecuaciones
    • Intervalos numéricos
    • ¿Qué es una inecuación?
    • Resolución de inecuaciones de primer grado
    • Signo de productos y cocientes
    • Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

 

  • Descarga los ejercicios propuestos al final del tema
  • Vídeo con explicación del tema y solución de los ejercicios

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que es cierta para ciertos valores de las variables llamados soluciones ( o raíces) de la ecuación.

 

Decimos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

 

Resolver una ecuación es encontrar todas las soluciones de la misma. Para esto vamos simplificando la ecuación original transformándola en otras ecuaciones equivalentes más sencillas.

 

Las propiedades fundamentales que nos permiten resolver las ecuaciones son las siguientes:

 

  

  1. Podemos sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación.
  2. Podemos multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuación por la misma cantidad, siempre que no sea cero.

 

 

Veamos algunos ejemplos:

 

  • Resuelve la ecuación: 3x-9=0

 

    • El proceso terminará cuando encontremos el valor de x que hace cierta la expresión.
    • 1ª Sumamos 9 en cada miembro: 3x - 9 + 9 = 0 + 9
    • En la práctica decimos que 9 pasa al segundo miembro sumando: 3x = 9
    • 2º Dividimos los dos miembros entre 3: 3x / 3 = 9 / 3
    • En la práctica, decimos que 3 pasa dividiendo al segundo miembro: x= 9 / 3 ; x = 3
    • Comprobación: sustituimos el valor de x = 3 en la ecuación
    • 3 * 3 - 9 = 0 -> Se verifica la igualdad.

 

  • Resuelve la ecuación: 5x+7=x-1


    • Separamos en lados distintos los términos que tienen x y los que no la tienen:
    • 5x -x = -1 -7; 4x = -8; x = -8 / 4; x = -2
    • Comprobación: 5 * (-2) +7 = (-2) -1 ; Se verifica la igualdad.

 

 

 

  • Resuelve la ecuación:

 

Comenzamos multiplicando los dos miembros de la ecuación por 6x ( el m.c.m. de los denominadores)

 

 

 

 

 

Simplificando los denominadores, obtenemos:

 

 

 

 

 

 

 

 

Comprobación:


 

 

 

Se verifica la igualdad

 

 

  • Resuelve la ecuación: 

 

Comenzamos multiplicando los dos miembros de la ecuación por 6 (m.c.m. de los denominadores)

 

 

 

 

Separamos los términos:

 

 

Comprobación:

 

Primer miembro:

 

 

Segundo miembro:

 

 

Se verifica la igualdad

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

 

Las ecuaciones de segundo grado ( o ecuaciones cuadráticas) tienen una fórmula general:

 

 

 

 

 

 

 

Sin embargo hay algunos casos sencillos donde no es necesario utilizar la fórmula general.

Veamos los dos casos donde esto ocurre:

 

  1. Falta el término en X (bx ):

 

Despejaremos la        y la solución será 

 

Veamos unos ejemplos:

 

  • Resuelve la ecuación:

 

La solución será:                                                            , es decir, esta ecuación tiene dos soluciones.

 

Habrá que comprobar la validez de cada solución.

 

  • Resuelve la ecuación:

 

Despejamos x:

 

 

  • Resuelve la ecuación:

 

Despejamos 

 

 

 

En algunas ocasiones puede que estas ecuaciones no tengan solución real. Esto sucederá cuando dentro de la raíz haya un número negativo ( ya sabemos que no existen raíces cuadradas de números negativos).

 

Veamos algunos ejemplos:

 

  • Resuelve la ecuación:

 

 

 

Esta raíz no corresponde a un número real y por tanto la ecuación no tiene solución.

 

  • Resuelve la ecuación: 

 

 

 

 

Al ser el radicando negativo, esta ecuación tampoco tiene solución.

 

 

2.- Falta el término independiente ( C ):

 

En este caso pasamos todos los términos a un miembro y extraemos factor común x:

 

 

 

 

Tenemos entonces un producto de dos factores igual a cero. Esto es sólo posible si el primer factor es cero o el segundo factor es cero. Esta propiedad transforma la ecuación de segundo grado en dos ecuaciones de primer grado.

 

Veamos algunos ejemplos:

 

  •  Resuelve la ecuación:

 

Todos los términos de la ecuación están en el primer miembro, factorizamos sacando factor común:

 

 

 

 

 

 

 

La ecuación tendrá por tanto dos soluciones: 

 

 


En el caso general, aplicaremos la fórmula cuadrática:

 

 

  • Resuelve la ecuación:

 

 

 

 

La aplicación de la fórmula nos da dos soluciones:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Resuelve la ecuación:

 

 

 

 

 

Como la raíz cuadrada no da un número real ( el radicando es negativo) esta ecuación no tiene soluciones reales.


FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO

 

Si conocemos las soluciones de la ecuación de segundo grado podemos factorizar el polinomio correspondiente de forma sencilla. En efecto:

 

 

 

 

 

Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta propiedad:

 

  • Factoriza el polinomio: 

 

Buscamos en primer lugar las soluciones de la ecuación:

 

 

 

 

 

Las soluciones son:                                       . Entonces la descomposición factorial del polinomio será:

 

 

 

 

Puedes comprobar que si multiplicas los dos paréntesis obtienes:

 

 

  • Factoriza el polinomio:

 

Buscamos las soluciones de la ecuación, pero como hemos visto en ejercicios anteriores, esta ecuación no tiene soluciones. Por tanto, este polinomio es irreductible.

 

 

Esta técnica de factorización es una consecuencia del teorema del resto que has visto en cursos anteriores y es aplicable a polinomios de cualquier grado a condición de que conozcamos sus raíces (soluciones).

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

 

En general las ecuaciones de grado superior a dos se resuelven pasando todo a un miembro y factorizando.

 

Veamos algunos ejemplos:

 

  • Resuelve la ecuación:

 

En primer lugar trasladamos todo a un miembro:

 

A continuación factorizamos la expresión:

 

 

 

Este producto es igual a cero si uno de los dos factores del producto son cero, por tanto:

 

  1. -                                        , resolvemos esta ecuación y obtendremos 2 soluciones.
  2. -                    , esto ya es una solución de la ecuación.

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

 

 

 

 

 

 

 

De este modo, la ecuación tiene 3 soluciones:

 

 

 

 

 

 

         Existe un tipo de ecuaciones de grado superior en las que las variables están todas elevadas a exponentes pares ( son ecuaciones bicuadráticas). Estas ecuaciones se pueden resolver utilizando la sustitución: 

 

Veamos un ejemplo:

 

  • Resuelve la ecuación:

 

Como todas las potencias son de exponente par, haremos la sustitución              .

Es decir, donde pone       en la ecuación nosotros escribiremos t y donde pone       nosotros escribiremos       , ya que                                                   .

 

 

 

 

Así hemos convertido la ecuación de cuarto grado en X en una ecuación de segundo grado en T.

La resolvemos:

 

 

 

 

Con las soluciones de t, calculamos las soluciones de x:

 

 

 

 

 

 

Así pues, las soluciones de la ecuación son:

ECUACIONES CON RAÍCES ( ECUACIONES IRRACIONALES)

 

Las ecuaciones con raíces, o ecuaciones irracionales, son ecuaciones donde la incógnita se encuentra dentro de una raíz cuadrada. Se resuelven normalmente dejando sola en un miembro la raíz y elevando después al cuadrado los dos miembros.

En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar las soluciones, ya que en el proceso de elevar al cuadrado pueden introducirse soluciones extrañas, es decir, soluciones que no estaban en la ecuación original.

 

 

Veamos un ejemplo:

 

  • Resuelve la ecuación:

 

Primero dejamos sola la raíz cuadrada:

 

A continuación elevamos al cuadrado los dos miembros ( ten en cuenta que en el segundo miembro hay una resta, y habrá que aplicar la fórmula del cuadrado de una resta):

 

 

 

Pasamos todos los términos a un miembro y simplificamos:

 

 

 

 

 

 

 

Comprobamos la solución obtenida en la ecuación original:

 

Primer miembro:

 

Segundo miembro:

 

Al ser iguales los dos términos, tenemos una solución válida.

 

 

 

En el caso de que haya más de una raíz, pondremos una en un miembro de la ecuación, y elevaremos al cuadrado los dos miembros. Después haremos lo mismo con la otra raíz. De nuevo es imprescindible comrpobar las soluciones con la ecuación original.

 

Veamos un ejemplo:

 

  • Resuelve la ecuación:

 

Dejamos sola una de las raíces en un miembro:

 

 

 

Elevamos al cuadrado (en el segundo miembro tendremos el cuadrado de una diferencia, y por tanto habrá que aplicar la fórmula):

 

 

 

 

Dejamos sola la otra raíz y simplificamos:

 

 

 

 

Elevamos otra vez al cuadrado:

 

 

 

 

 

Pasamos todo a un miembro y simplificamos:

 

 

 

 

 

 

 

Vamos a comprobar si estas soluciones son válidas:

 

Comprobación:

 

 

Primer miembro: 

 

Segundo miembro: 

 

Son distintos, por tanto la solución                        no es válida.

 

 

Primer miembro:


Segundo miembro:

 

Son iguales, por tanto la solución                  es válida.

 

La ecuación tiene una única solución:

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En este capítulo vamos a ver como resolver algunos tipos de problemas usando la técnica de las ecuaciones. En esencia el procedimiento consiste en traducir las palabras del problema a forma algebraica construyendo una ecuación. Aquí veremos como hacerlo.

LENGUAJE ALGEBRAICO

En la resolución de un problema matemático mediante una ecuación, la parte quizá más difícil es "traducir" las frases del problema a forma algebraica. Vamos a ver algunos ejemplos donde aparecen frases muy frecuentes en los problemas y su traducción matemática.

 

 

  • Escribe las siguientes frases en forma algebraica, usa x para representar la incógnita:

 

 

a) 5 más un número:

 

b) Le sumamos 20 a un número:

 

c) La suma de un número y 12:

 

d) Un número aumentado en 7 unidades:

 

  • Escribe cada una de las siguientes frases:

 

 

a) un número menos 3:

 

b) Un número disminuido en 12 unidades:

 

c) Un número 10 unidades menor que x:

 

 

  • Escribe las siguientes frases en forma algebraica, usa x para representar la incógnita:

 

a) El producto de un número y 3:

 

b) Tres veces un número:

 

c) El triple de un número:

 

d) Dos tercios de un número:

 

e) El cociente de un número y 2:

 

f) El inverso de un número:

 

 

Algunas frases pueden traducirse con una combinación de símbolos, como se ve en los siguientes ejemplos:

 

 

  • Escribe las siguientes frases en forma algebraica, usa x como variable:

 

a) Restamos 7 del cuádruple de un número:

 

b) Un número más su inverso:

 

c) La suma de un número y 2, multiplicada por 5:

 

d) El cociente entre un número, y el número aumentado en 4 unidades:

PASOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

Hay una serie de etapas que se suelen observar a la hora de plantear y resolver un problema matemático utilizando ecuaciones:

 

  1. Escoger una variable para representar el valor numérico que nos piden calcular en el problema (la incognita)
  2. Traducir el problema a una ecuación.
  3. Resolver la ecuación.
  4. Teniendo en cuenta la solución de la ecuación, contestar a la cuestión planteada en el problema.
  5. Comprobar la solución usando las palabras originales del problema.

 

 

Utilizaremos el signo "=" para traducir cualquier frase que signifique "igual" o "lo mismo". Este signo "=" establece una ecuación que podemos resolver.

 

Veamos unos ejemplos:

 

  • Ejemplo 1: Traduce: "el opuesto de 4, y un número disminuido en 7 unidades es 100" en una ecuación. 

 

Usa x como variable y resuelve la ecuación:

 

La traducción sería:

El producto de 4: ........................................... 4*

y un número disminuido en 7 unidades  .........

es  ................................................................. =

100  ............................................................... 100

La ecuación será por tanto:

 

 

Resolución:

 

 

 

 

Comprobamos que esta es efectivamente la solución del problema. Si a 32 le restamos 7 unidades obtenemos 25; cuando multiplicamos esta diferencia por 4, el resultado es 100. Luego 32 es el número que solicita el enunciado.

 

 

  • Ejemplo 2: "Si al triple de la suma de un número con 4 le restamos el doble del número, el resultado es -6. Calcula ese número."

 

Llamamos "X" al número que queremos averiguar. "El triple de la suma de un número y 4" se traduce en símbolos como 3 ( x + 4 ) . "El doble del número" es 2x. Ahora escribamos una ecuación usando la información del problema:

 

 

A continuación resolvemos la ecuación:

 

 

 

Comprobamos que -18 es la respuesta correcta sustituyendo ese valor en el problema original:

 

A -18 le sumamos 4 y da -14; el triple de -14 es -42; le restamos el doble de -18, es decir, -36 y da -6. Es lo que decía el enunciado. Luego -18 es el número que nos han pedido.

 

 

  • Ejemplo 3: "En un concierto hay 25 mujeres más que hombres. El número total de personas en el concierto es 139. Encuentra el número de hombres"

 

Llamamos x al número de hombres. Entonces en número de mujeres será x+25. La base de la ecuación será que el total de personas es igual a la suma de hombre y de mujeres:

 

Total de personas = número de hombres + número de mujeres

 

 

Resolvemos la ecuación:

 

 

 

Por tanto había 57 hombres en el concierto.

 

 

  • Ejemplo 4: "Si al menor de dos números impares consecutivos se duplica, el resultado es 7 unidades mayor que el más grande de los dos números. Encuentra dichos números"

 

Este ejemplo usa números enteros impares consecutivos, los cuales son números impares que vn seguidos como el 5, 7, 9, 11....

 

Llamamos x al número mayor. Como los números son impares y consecutivos el número mayor será x+2. Escribimos entonces la afirmación del problema en forma de ecuación:

 

 

Resolvemos la ecuación:

 

 

 

Los números pedidos serán por tanto 9 y 11.

FORMULAS Y ECUACIONES

 

Muchos problemas matemáticos ( y científicos en general) se resuelven usando una fórmula. Las fórmulas existen para figuras geométricas tales como cuadrados y círculos, para la distancia, para fenómenos naturales y para cambiar de unidades. Vamos a ver a continuación algunos ejemplos donde se usan fórmulas para escribir ecuaciones.

 

 

  • Ejemplo 1: "El perímetro de un rectángulo mide 80 metros y la base tiene 25 metros. Encuentra la altura del rectángulo."

 

Se llama perímetro del rectángulo a la suma de las longitudes de los cuatro lados. La fórmula del perímetro es P= 2b+2h, es decir los lados de un rectángulo son iguales 2 a 2.

Perímetro de un rectánguloPara encontrar la altura, sustituimos 80 en el lugar de P y 25 en el lugar de b:

Resolvemos la ecuación para encontrar el valor de h:

 

 

 

La altura del rectángulo será por tanto de 15 metros.

 

 

  • Ejemplo 2: "El perímetro de un cuadrado es de 96 cm. Encuentra la longitud de un lado."

 

Si llamamos x a la longitud del lado, tenemos la siguiente fórmula para el perímetro de un cuadrado:

 

 

 

Sustituyendo el valor de P en la fórmula, tenemos la siguiente ecuación:

 

 

Resolvemos:

 

 

 

Por tanto, la longitud del lado del cuacrado será de 24 cm.

 

 

En muchas ocasiones se hace necesario en una fórmula en la que intervienen varias variables dejar solo una de ellas en un miembro. A este proceso se le llama resolver para una variable. Veremos el procedimiento en algunos ejemplos:

 

 

  • Ejemplo A:    Resolver:

 

Necesitamos despejar h de la ecuación; para ello pasamos b dividiendo al otro miembro:

 

 

 

 

  • Ejemplo B: Resolver: 

 

Primero multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 5 para eliminar la fracción:

 

 

 

Pasamos 160 restando al otro miembro

 

 

Dividimos por 9:

 

 

 

 

 

Otra forma más rápida es considerar la fracción        como un número. Entonces pasamos primero 32 restando al otro miembro y después pasamos la fracción al otro miembro dividiendo:

 

 

 

 

El resultado es el mismo.

INECUACIONES

En esta sección vamos a estudiar las desigualdades. En muchas situaciones relacionadas con la Matemática nos interesa que la variable no sobrepase determinados límites. Para esto necesitamos resolver inecuaciones. Para ello vamos a conocer unos conceptos previos.

INTERVALOS NUMÉRICOS

Un intervalo numérico es un conjunto de números que se encuentra entre otros dos que se llaman extremos del intervalo.

 

Hay diferentes tipos de intervalos:

 

  • Intervalo abierto ( a,b). Es el conjunto de números que se encuentran entre a y b, sin contar estos dos números.
    • (1,4) representa a todos los números situados entre 1 y 4, sin contar estos números. Por ejemplo, a este intervalo pertenecen el 2, el 3.5, el 1.27, etc... No pertenecen a este intervalo los números 1, 4, 4.5, 0.9...

 

  • Intervalo cerrado [a,b]. Es el conjunto de números que se encuentran entre a y b, contando tambien estos dos números.
    • [1,4] representa a todos los números situados entre 1 y 4, contando también a estos números. Por ejemplo, pertenecen el 1, el 2, el 3.5, el 1.27, el 4.... No pertenecen por ejemplo, el -4, el 0.9, el 5....

 

  • Intervalos semiabiertos [a,b) y (a,b]. Se incluye solo uno de los extremos (el que lleva corchete) y no el otro (el que lleva paréntesis).
    • [1,4), representa a todos los número situados entre 1 y 4, contando el 1 pero sin contar el 4.
    • (1,4] representa a todos los números situados entre 1 y 4, contando el 4 pero sin contar el 1.

 

 

  • Hay unos intervalos especiales:

 

 

 

Estos intervalos hacen referencia al conjunto de números que están por encima o por debajo de un determinado número.

 

representa a todos los números situados por debajo de 5.

representa a todos los números situados por encima de 3, contando al 3.

 

En el siguiente apartado precisaremos el significado de "por encima" y "por debajo".

¿QUE ES UNA INECUACIÓN?

  Llamamos inecuaciones a expresiones algebraicas que están separadas por los siguientes signos de desigualdad:


 < "es menor que"

 â‰¤ "es menor o igual que"

 > "es mayor que"

 â‰¥ "es mayor o igual que"

 

 

Veamos algunos ejemplos donde se utilizan estos símbolos:

 

  • Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

 

a) 8<10  Es verdadera, ya que indica que 8 es menor que 10.

b) 5>7    Es falsa, ya que indica que 5 es mayor que 7.

c) 15≤20 Esta afirmación se cumpliría si bien 15<20 o 15=20. Como la primera es cierta, es verdadera.

d) 40≤10 La afirmación es falsa. No se cumple 40=10, ni 40<10.

 

 

Para resolver una inecuación, tenemos que encontrar todos los números reales que sen solución de la misma.

Por ejemplo, x≤2 representa todos aquellos números que sean menores o iguales a 2. Las soluciones de la anterior inecuación podemos representarlas de dos formas:

 

  • Gráficamente: Sobre la recta real sombreamos el lugar donde se encuentran las soluciones. (Observa que ponemos un punto macizo ya que contamos el 2 dentro de la solución de la inecuación).

 

 

 

 

 

 

  • Matemáticamente: En forma de intervalo. En nuestro caso el intervalo será:

 

 

 

(el corchete indica que 2 también es solución)

 

 

  • Ejemplo 1: "Representa gráficamente y en forma de intervalo la solución de la inecuación x > -5."

 

La inecuación x>-5 tiene como solución todos aquellos números mayores que -5, pero sin contar -5. En la recta real lo representaremos dibujando una linea a partir de -5 hacia la derecha y dibujando una flecha en su extremo.

 

 

 

 

 

 

Observa que en el inicio  de la línea no aparece el círculo macizo, lo que indica que -5 no pertenece a la solución.

 

En forma de intervalo será:

 

 

  • Ejemplo 2: "Representa gráficamente y en forma de intervalo la solución de la inecuación 3<x."

 

La expresión 3<x, significa lo mismo que x>3. Todos los números mayores que 3, sin incluir 3.

La representación gráfica es la siguiente:

 

 

 

 

 

 

La solución en forma de intervalo es:

 

 

 

 

Las inecuaciones pueden aparecer con dos signos de desigualdad. Se les llama inecuaciones dobles. Es como si uniéramos dos inecuacioes.

 

Veamos uno ejemplo:

 

  • Ejemplo: "Representa gráficamente y en forma de intervalo la inecuación -3≤x<2."

 

Esta inecuación tiene como solución todos aquellos números que verifiquen a la vez que son mayores o iguales que -3 y menores que 2. Es decir, todos los números que están comprendidos entre -3 y 2, incluyendo a -3.

 

Solución gráfica:

 

 

 

Solución en forma de intervalo:

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO

 

 Los métodos de resolución de inecuaciones de primer grado son bastante parecidos a la forma de resolver ecuaciones. Las reglas básicas son las siguientes:

 

 

  • Podemos sumar el mismo número en los dos miembros de la inecuación, y seguirá teniendo las mismas soluciones. Esto quiere decir que podemos pasar términos que están sumando en un lado de la ecuación al otro lado restando, y viceversa.
  • Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de la inecuación por un número positivo, la inecuación seguirá teniendo las mismas soluciones. Esto significa que podemos pasar un término que esté multiplicando en un miembro de la inecuación al otro miembro dividiendo, siempre que sea positivo.
  • Si multiplicamos o dividimos los dos términos de la inecuación por un número negativo, la desigualdad cambiará de sentido. Esto significa que cuando pasemos un número negativo que está multiplicando en un miembro al otro miembro dividiendo, tendremos que cambiar el sentido de la desigualdad. Por ejemplo si era <, pasará a ser >.

 

 

Veamos unos ejemplos donde se aplican estas reglas:

 

  • Resuelve la inecuación

 

 

 

 

La solución será por tanto el intervalo:

 

 

La solución gráfica sería:

 

 

 

 

  • Resuelve la inecuación: 

 

 

 

Al pasar -10 dividiendo al otro miembro, recordemos que como es negativo, tendremos que cambiar el sentido de la desigualdad:

 

 

 

 

La solución será el intervalo: 

 

 

 

 

A las inecuaciones dobles les aplicaremos las mismas reglas que a las inecuaciones simples. Hay que tener en cuenta que lo que hagamos con una de las inecuaciones hay que hacerlo con la otra.

 

Veamos unos ejemplos:

 

 

  • Resuelve la inecuación:

 

 

 

 

 

 

La solución será el intervalo:

 

 

  • Resuelve la inecuación:

 

Restamos 2:

 

 

En este punto dividimos por -3 ( al ser negativo hay que cambiar el sentido de la desigualdad):

 

 

 

 

Escribimos las desigualdades en orden creciente:

 

 

 

La solución será el intervalo: 

INECUACIONES: SIGNO DE PRODUCTO Y COCIENTES

Vamos a estudiar en este apartado inecuaciones donde el primer miembro es un producto o cociente de factores y el segundo miembro es cero.

 

Antes de empezar, observa que la expresión a>0, que significa realmente "a es mayor que cero", también es equivalente a decir que "a es positivo", ya que lo números mayores que cero son todos positivos.

 

De esta forma lo que vamos a estudiar en este apartado es el signo de determinados productos o cocientes.

 

Para ello estudiaremos en primer lugar el signo de cada uno de los factores, y luego aplicaremos la regla de los signos. Como cada factor sólo puede cambiar de signo cuando vale cero, primero lo igualaremos a cero y determinaremos estos números. Estos números determinan intervalos donde podremos comprobar el signo. Para determinar el signo de los factores en cada intervalo escogeremos un valor de prueba, un número dentro del intervalo.

 

Para aclarar este procedimiento, veamos unos ejemplos:

 

 

 

  • Resuelve la inecuación: 

 

Igualamos cada uno de los paréntesis a cero, para ver donde cambia el signo:

 

 

 

 

 

Los valores signos cambian en los números -1 y 2, por lo que podemos definir 3 intervalos distintos:

 

      • Desde menos infinito hasta -1
      • Entre -1 y 2
      • Desde 2 hasta más infinito

 

 

Con estos valores crearemos una tabla de signos:

 

INTERVALO(-∞,-1)(-1,2) (2,+∞) 
 Valor de prueba-2 
Signo de (x-2) 
 Signo de (x+1)
 Signo de (x-2)(x+1)

 

Como estamos buscando el intervalo donde el producto es negativo, la solución es: (-1,2) .

 

 

  • Resuelve la inecuación: 

 

Igualamos los términos a cero:

 

 

 

 

 

Tenemos definidos 3 intervalos (-∞,-7),(-7,5),(5,+∞). Vamos a estudiar el signo en cada caso.

 

Creamos una tabla de signos:

 INTERVALO(-∞,-7) (-7,5) (5,+∞) 
 Valor de prueba-2 
Signo de ( x-5) 
 Signo de (x+7)
 Signo de (x-5/x+7)

 

Como buscamos resultados positivos, la solución será: 

 

 

 

Este método puede servir para resolver inecuaciones de segundo grado o superiores. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

 

 

  1. Pasaremos a un miembro todos los términos de la inecuación, quedando cero en el otro miembro.
  2. Factorizaremos el miembro distinto de cero.
  3. Calcularemos los "ceros" de cada factor, es decir, los números que harán cero cada factor.
  4. Construiremos una tabla de signos.
  5. Determinaremos los intervalos solución de la última fila

 

 

Veamos unos ejemplos:

 

  • Resuelve la inecuación:

 

Factorizamos el primer miembro:

 

 

Igualamos cada término a cero para encontrar los puntos donde se cambia de signo:

 

 

 

 

Ahora tenemos definidos los intervalos  (-∞,+2,(+2,+3),(+3,+∞). Definamos la tabla de signos:

 

 INTERVALO(- ∞,+2)(+2,+3) 

(+3,+∞) 

 Valor de prueba2.5 
 Signo de (x-2)
 Signo de (x-3)
 Signo de (x-2)(x-3)+

 

Como estamos buscando valores positivos, el intervalo resultante será: 

 

 

  • Resuelve la inecuación:

 

 

Igualamos a cero los términos:

 

                                            En cero hay un cambio de signo.

 

                                                                                  No tiene solución real. Por tanto este término no cambia de signo.

 

Tabla de signos:

 

INTERVALO(- ∞,0)(-0,+∞)
Valor de prueba-11
Signo de 2x-+
Signo de x²+1++
Signo de 2x/x²+1-+

 

El intervalo solución es donde el cociente es positivo, por tanto será: 

 

 

  • Resuelve la inecuación:

 

Pasamos todo al primer miembro:

 

 

 

Ponemos el primer miembro en una sola fracción:

 

 

 

Factorizamos:

 

 

 

Igualamos los términos a cero:

 

 

 

 

 

Tabla de signos:

 

INTERVALO(- ∞,-3) (-3,0)(0,+3) (+3,+∞) 
 Valor de prueba-5 -1 
Signo de X 
Signo de (3-x) 
Signo de (3+x) 
Signo de (3-x)(3+x)/x 

 

 

Nos interesan los intervalos donde el cociente es negativo o cero, luego la solución será:

 

 

 

Observa que se ha incluido la solución x=-3 y x=3, ya que estos números hacen cero la expresión. No se ha incluido la solución x=0 ya que anula el denominador de la fracción, y entonces la expresión no da ningún resultado numérico.

ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

 

El valor absoluto puede aparecer en ecuaciones o en inecuaciones. El procedimiento normal para resolverlas es escribir la ecuación o la inecuación de forma equivalente pero sin que aparezca el valor absoluto.

 

Esto se hace teniendo en cuenta las siguientes propiedades del valor absoluto:

 

  1.  |x| = c, es equivalente a estas dos expresiones x=c y x=-c. Es decir, una ecuación con valor absoluto es equivalente a dos ecuaciones sin valor absoluto.
  2. |x| < c es equivalente a la inecuación doble -c < x < c.
  3. |x| ≤ c es equivalente a la inecuación doble -c ≤ x ≤ c.
  4. |x| > c es equivalente a las inecuaciones  x > c y x < c.
  5. |x| ≥ c es equivalente a las inecuaciones x ≥ c y x â‰¤ c .

 

 

Veamos algunos ejemplos donde se utilizan estas propiedades del valor absoluto.

 

 

  • Resuelve la ecuación:  

 

Si el valor absoluto debe valer 8, el interior del valor absoluto debe valer 8 ó -8. Por esta razón, resolver la ecuación con valor absoluto es lo mismo que resolver las dos ecuaciones sin valor absoluto.

 

 

 

 

 

Por tanto las soluciones de la ecuación con valor absoluto son x=2 y x=-14.

 

 

  • Resuelve la inecuación:

 

Según la propiedad 2, resolver esta inecuación es lo mismo que resolver la inecuación doble:

 

 

 

Restamos 5 en todos los términos:

 

 

 

Dividimos por 3 todos los términos:

 

 

 

 

Por tanto la solución será el intervalo 

 

 

Una forma fácil de comprobar esta solución es escoger un número cualquiera de dentro del intervalo y sustituirlo en la inecuación para ver que lo verifica; después cogemos otro número cualquiera de fuera del intervalo y comprobar que no verifica la inecuación.

 

 

 

 

 

 

  • Resuelve la inecuación:

 

Según la propiedad 5, resolver esta inecuación es equivalente a resolver las inecuaciones

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Luego la solución será:

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Razones trigonométricas

Tema 4:

Expresiones Algebraicas

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