LOS NÚMEROS ENTEROS

Vamos a dedicar esta sección del curso online de Matemáticas 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media) a un repaso de las operaciones con números enteros. Hay que recordar que estos números son una ampliación del conjunto de números naturales para dar sentido a ciertas operaciones como la resta. Hay 3 clases de cúmeros enteros:

Los enteros positivos: Son los números naturales (1,2,3,...)
Los enteros negativos: -1, -2, -3,...
El cero

Los números enteros pueden representarse gráficamente en una recta, en la que el cero aparece como término central. A la izquierda del cero se encuentran los negativos y a la derecha los positivos.

Esta representación sugiere un método para ordenar los números enteros, de forma que, el mayor de un conjunto será el que se encuentre más a la derecha de la recta de representación. Del mismo modo, el menor será el que se encuentre más a la izquierda.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO

Se define como la distancia desde el número al centro ( el cero ) de la recta de representación. El valor absoluto siempre será positivo o cero. Se denota con el símbolo │x│, donde x es el número.

Ejemplos: │3│ = 3 ; │-3│=3 ; │ 0 │= 0

OPUESTO DE UN NÚMERO

El opuesto de un número tiene el mismo valor absoluto pero con el signo contrario. Para encontrar el opuesto de un número entero, basta con cambiar el signo de dicho número.

Ejemplos: El opuesto de 3 es -3. El opuesto de -17 es 17.

1.2 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Cuando los números tienen el mismo signo, se suman y se mantiene el signo.

Ejemplo: (+3)+(+5)= 3 + 5 = 8 ; (-1) + (-5) + (-9) = -1 + -5 + -9 = -15

Cuando los números son de distinto signo, se restan sus valores absolutos, y el signo resultante sera el del mayor valor absoluto.

Ejemplo: (+6) + (-2) = 6-2 = +4 ; (-15) + (+7) = 15 - 7 = (-8)

La suma de un número con su opuesto es cero.

Ejemplo: (+2) + (-2) = 0

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

La resta se transforma en una suma utilizando el elemento opuesto.

a - b = a + (-b)

Ejemplo: (+2) - (+5) = (+2) + (-5) = 2 + -5 = -3 ;

SUMA Y RESTA COMBINADAS

En general, cuando aparecen sumas y restas combinadas en una misma operación, la escribiremos de forma simplificada de acuerdo con el siguiente criterio:

Si delante de un paréntesis aparece un signo + (habitualmente no aparece ningún signo), escribiremos el número tal y como está:

Ejemplo: + ( -3 + 4 )= -3 + 4 = 1

Si delante de un paréntesis aparece un signo menos, escribiremos el opuesto del número que hay en su interior:

Ejemplo: -( -6 + 9 )= 6 - 9 = -3

Después de eliminar los paréntesis tendremos una colección de números positivos y negativos, que sumaremos por separado, calculando el resultado final.

Ejemplo: (-3) + (+8) - (+4) - (-1) = (-3) + (+8) + (-4) + 1 = 9 + -7 = 9 - 7 = 2

Cuando hay varios niveles de paréntesis, repetiremos los pasos en orden inferior a mayor ( paréntesis, corchetes, llaves, etc...) eliminando en cada paso un nivel:

Ejemplo: (-2)-{[(+7)-(-1)]+(-12)} = -2 - {[7+1]-12} = -2-{7+1-12} = -2 -7 -1 +12 = -10 +12 = 2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Recordemos la regla de los signos:

(+) * (+) = (+) (+) :(+) = (+)

(+) * (-) = (-) (+) : (-) = (-)

(-) * (+) = (-) (-) :(+) = (-)

(-) * (-) = (+) (-) : (-) = (+)

Ejemplos: (+3) * (+3) = 9 ; (-3) * (+3) = -9 ; (+12) : (+4) = 3 ;

(+12) : (-4) = -3

PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES

En ausencia de paréntesis y corchetes que no incluyan las operaciones existe un orden en el que deben ejecutarse las mismas:

1. Potencias y raíces.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas.

Ejemplos (-7) * (-2) - (-1) * 4 = 14 - (-4) = 18

En caso de que haya expresiones que tengan paréntesis y combinen operaciones de suma ( o resta) y multiplicación ( o división), tendremos que resolver antes el interior de los paréntesis.