SUCESIONES Y LÍMITES

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS Y APLICADAS

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1 Números Enteros

2 Fracciones

3 Potencias

4 Expresiones Algebraicas

5 Ecuaciones

6 Razones Trigonométricas

7 Vectores en el Plano

8 Sucesiones y Límites

9 Funciones

10 Estadística Descriptiva

CONTENIDO DEL TEMA 8:

8.1 Sucesiones de números reales
- Introducción
- Concepto de sucesión
- Formas de expresar una sucesión
- Progresiones aritméticas
- Progresiones geométricas
- Otros tipos de sucesiones
- Método de los coeficientes indeterminados

8.2 Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas. Límite
- Introducción
- Operaciones con sucesiones
- Sucesiones crecientes y decrecientes
- Sucesiones acotadas
- Convergencia de sucesiones. Concepto de límite de una sucesión. Problemas métricos
- Límites y entornos
- Sucesiones divergentes. Problemas métricos
- Sucesiones oscilantes

8.3 Cálculo de límites de sucesiones
- Introducción
- Límites y operaciones convergentes
- Límites y operaciones con sucesiones divergentes
- Límites particulares y resolución de algunas indeterminaciones

8.4 Límites de potencias. El número e
- Introducción
- Cálculo del límite de una potencia
- Base convergente y exponente divergente
- Base divergente y exponente convergente
- Base y exponente divergentes
- Indeterminación 1 .El número e
- Una aplicación del número e: el interes contínuo

8.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES

INTRODUCCIÓN A LAS SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

En este capítulo trabajaremos con conjuntos infinitos de números reales: las sucesiones. Veremos qué formas hay de definir una sucesión, algunos tipos particulares, así como sus propiedades fundamentales. Finalmente consideraremos algunos problemas donde se utiliza el concepto de sucesión.

CONCEPTO DE SUCESIÓN

Llamaremos sucesión a un conjunto infinito de números reales que están ordenados de acuerdo a algún criterio o ley matemática.

A cada elemento o número de la sucesión se le denomina término.

Decimos que están ordenados en el sentido de que existe un primer elemento, un segundo elemento... etc.

{a1, a2, a3, ... , an, ...}

Además, como siguen un determinado "truco" matemático, en cada ocasión seremos capaces de determinar quién es el elemento siguiente de cada número de la sucesión.

Veamos algunos ejemplos para aclarar este concepto:

Un claro ejemplo de sucesión de números reales es el conjunto de los números naturales:
- - - N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
- En esta sucesión el primer elemento es el 1, lo expresaremos como a1=1.
- El segundo elemento es el 2, lo expresaremos como a2=2.
- El sexto elemento es el 6, lo expresaremos como a6=6.
- Y así sucesivamente.

Otro ejemplo de sucesión son los números pares:
- - - {2,4,6,8,10,12,14,16...}
- En esta sucesión, el primer elemento es el 2, a1=2. El segundo elemento es el 4, a2=4.
- El quinto elemento es el 10. a5=10. Y así sucesivamente.

La sucesión de los cuadrados es otro ejemplo:
- - - {1,4,9,16,25,36,...}
- En esta sucesión tenemos que a1=1, a2=4,a3=9,a4=16,a5=25...., y así sucesivamente.

FORMAS DE EXPRESAR UNA SUCESIÓN

Existen varias formas de conocer o expresar los términos de una sucesión. Entre las principales están:

Notación en lista: Esta es la forma que hemos utilizado hasta ahora, y consiste en que aparecen entre llaves los primeros términos de la sucesión, seguidos de puntos suspensivos. El número de términos que aparecen en la lista debe ser suficiente para darnos una idea exacta de cuáles son los números que pertenecen a la sucesión, y podamos escribir sin ningún tipo de ambigüedad cualquier otro término.

Ejemplos:

- {1,2,3,4,5,6...}
- {2,4,6,8,10,...}
- {2,4,9,16,25,36,...}

Término general: Esta es una fórmula de la cuál podemos extraer cualquier término de la sucesión, en función de la posición que ocupa en la misma. El número que indica la posición se suele denotar con la letra n, de manera que al primer término le corresponde n=1, al segundo término n=2, etc.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de expresión:

1) El término general de una sucesión viene dado por la expresión: . Calcula los cinco primeros términos de dicha sucesión:
- Sustituimos en la fórmula los valores de n=1, 2, 3, 4 y 5:

2) Calcula el término que ocupa la posición 27, es decir n=27, en la sucesión:
- Sustituimos n=27 en la expresión del término general de dicha sucesión:

b27=0. Luego 0 es el elemento 27 de la sucesión.

3) ¿Es el número 2 un elemento de la sucesión ? En caso afirmativo, indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Si dicho número está en la sucesión, debe obtenerse dándole un valor determinado a n en la expresión del término general:

Por tanto, el número 2 es un término de la sucesión, y ocupa la posición número 11.

Sucesiones definidas por recurrencia: En este caso la ley para obtener cada término se basa en realizar alguna operación con los términos anteriores.

Veamos algunos ejemplos:

1) Consideremos la sucesión definida por los números {1,4,19,364,...}. En esta sucesión, la ley de formación de los términos es la siguiente: el primer término es el 1, y cada término siguiente se forma elevando al cuadrado el término anterior y sumándole 3.

En general, diríamos que la fórmula de recurrencia sería:

2) Otra sucesión muy interesante que suele definirse por recurrencia es la sucesión de Fibonacci (matemático Italiano de principios del siglo XIII, cuyo nombre de pila era Leonardo de Pisa):

{1,1,2,3,5,8,...}

En esta sucesión los dos primeros términos valen 1, y cada uno de los términos siguientes es la suma de los dos anteriores.

La ley de recurrencia para este tipo de términos de sucesión sería por tanto:

Esta sucesión esta relacionada con muchos fenómenos naturales (la reproducción de los conejos, estructuras de las semillas de ciertas variedades de girasol...).

En general, una misma sucesión puede escribirse en varias de las notaciones anteriores. Nosotros usaremos fundamentalmente la del término general. La ventaja de esta última notación es que podemos hallar un término determinado de la sucesión sin tener que recurrir a escribir los anteriores.

El cálculo del término general de una sucesión a partir de la notación en lista puede ser muy laborioso dependiendo de la sucesión concreta que estemos estudiando. Nosotros lo haremos en algunos casos sencillos que desarrollaremos en los siguientes apartados.

$a_{n}=\frac{3n}{n^2-8}$

$n=1\rightarrow a_{1}=\frac{3*1}{1^2-8}=\frac{3}{-7}\Rightarrow a_{1}=-\frac{3}{7}$ $n=2\rightarrow a_{2}=\frac{3*2}{2^2-8}=\frac{6}{-4}\Rightarrow a_{2}=-\frac{3}{2}$ $n=3\rightarrow a_{3}=\frac{3*3}{3^2-8}=\frac{9}{1}\Rightarrow a_{2}=9$ $n=4\rightarrow a_{4}=\frac{3*4}{4^2-8}=\frac{12}{8}\Rightarrow a_{2}=\frac{3}{2}$ $n=5\rightarrow a_{5}=\frac{3*5}{5^2-8}=\frac{15}{17}\Rightarrow a_{2}=\frac{15}{17}$

$b_{n}=n+(-1)^n*n.$

$b_{27}=27+(-1)^{27}*27=27+(-1)*27=27-27=0$

$a_{n}=\frac{3n-1}{n+5}$

$2=\frac{3n-1}{n+5}\Rightarrow 3n-1=2(n+5)\Rightarrow 3n-1=2n+10\Rightarrow n=11.$

$a_{2}=(a_{1})^2+3=1+3=4;$

$a_{3}=(a_{2})^2+3=4^2+3=19;$

$a_{4}=(a_{3})^2+3=19^2+3=364;$

$a_{n}=(a_{n-1})^2+3,\text{con } a_{1}=1.$

$a_{3}=a_{2}+a_{1}=1+1=2$ $a_{4}=a_{2}+a_{3}=1+2=3$ $a_{5}=a_{3}+a_{4}=2+3=5$

$\large a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\text{ con }a_{1}=1 \text{ y }a_{2}=1$

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Las progesiones aritméticas son un tipo particular de sucesiones donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior. A esta cantidad se le denomina diferencia de la progresión, ya que se obtiene restando dos términos consecutivos.

Veamos algunos ejemplos:

La sucesión { 6,9,12,15,...}, es una progresión aritmética cuya diferencia es d=3.
La sucesión {100,89,78,67,...}, es una progresión aritmética cuya diferencia es d=-11.
La sucesión {2,5,10,17,...}, no es una progresión aritmética, ya que la diferencia entre dos términos consecutivos no es una cantidad fija.

En este tipo de sucesiones es fácil hallar la expresión del término general.

Veamos como:

En una expresión aritmética, los términos tendrán la siguiente forma:

El término que ocupa, por ejemplo, la posición número 20, se obtendrá sumando al primer término 19 veces la diferencia:

En general, tendremos por tanto la siguiente fórmula para el término general de una progresión arimética.

Veamos algunos ejemplos:

Calcula el término general de la sucesión: {3,6,9,12,15,...}.

Ya hemos visto anteriormente que esta sucesión es una progresión aritmética. El primer término de dicha progresión es a1=3, y la diferencia entre dos términos sucesivos es de d=3, con lo cual tenemos:

Por tanto, el término general de sta progresión será de an=3n.

Calcula el término general de la sucesión {100,89,78,67,...}

Se trata de una progresión aritmética. El primer término es a1= 100 y la diferencia es d=-11.

Por tanto,

Vamos a comprobar esta fórmula para un caso particular, por ejemplo, n=4, deberíamos obtener el cuarto término, que es igual a 67.

Un resultado interesante relacionado con las progresiones aritméticas es la fórmula que nos da la suma de sus n primeros términos.

Vamos a deducirla en un caso concreto: la suma de los 100 primeros números naturales:

S=1+2+3+...+98+99+100

Si colocamos los números en orden descendente, volveremos a obtener la misma suma:

S=100+99+98+...+3+2+1

Sumando las dos igualdades anteriores vemos que en el segundo miembro aparece 100 veces el número 101:

S=1+2+3+...+98+99+100

S=100+99+98+...+3+2+1

2s=101+101+101+...+101+101+101

2s=100 veces 101=100*101

Este mismo truco puede aplicarse a la suma de nos n primeros números naturales, obteniendo:

Para cualquier otra progresión aritmética se demuestra que el valor de la suma de sus n primeros números es:

Veamos como se utilizan estas fórmulas en el siguiente ejemplo:

Calcula la suma de los primeros 40 términos de la sucesión {3,6,9,...}.

Esta progresión aritmética con a1=3 y d=3.

Su término general será por tanto:

Con el término general podemos calcula el término número 40.

Ya tenemos los datos suficientes para calcular la suma:

Así obtenemos que la suma de los 40 primeros términos de la sucesión es 2460.

$\large \left \{ a_1,a_1+d,a_1+2d,a_1+3d,...\right \}$

$\large a_{20}=a_1+19d$

$\LARGE a_{n}=a_1+(n-1)d$

$\large a_{n}=a_1+(n-1)d=3+(n-1)*3=3+3n-3=3n$

$\large a_{n}=a_1+(n-1)d=100+(n-1)*(-11)=100-11n+11=111-11n$

$\large a_{n}=111-11n$

$\large a_{n}=111-11n\Rightarrow a_4=111-11(4)=111-44=67$

$\large s=\frac{100*101}{2}$

$\large s=\frac{n(n+1)}{2}$

$\LARGE s=\frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

$\large a_n=3+(n-1)*3=3n$

$\large a_{40}=3*40=120$

$\large S=\frac{(a_1+a_n)*n}{2}=\frac{(3+120)*40}{2}=2460$

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Este otro tipo de sucesiones se caracterizan porque cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija llamada razón de la progresión. Se llama así ya que podemos determinar la razón dividiendo dos términos consecutivos cualesquiera.

Veamos algunos ejemplos:

La sucesión { 9, 36, 144, 576, ...}.

Es una progresión geométrica, ya que si multiplicamos cada término por 4 obtenemos el siguiente. La rezón de la progresión es, por tanto, r=4.

La sucesión { 4, -12, 36, -108,...}.

Es un progresión geométrica, cuya razón vale r= -3.

La sucesión

Es una progresión geométrica de la razón .

Como habrás observado, la razón de la progresión puede ser cualquier tipo de número.

Al igual que en las progresiones aritméticas, es fácil construir una fórmula para el término general de las progresiones geométricas. En efecto, una progresión geométrica tendrá la forma general

Es decir, un término cualquiera, por ejemplo el que ocupa la séptima posición ( n=7 ), se obtendrá multiplicando el primer término 6 veces por la razón. Por lo cual, la expresión para el término general de una progresión geométrica será:

Término general de una progresión geométrica

Veamos unos ejemplos: