FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS Y APLICADAS

CONTENIDO DEL TEMA 2:

En este segundo tema vamos a tratar:
  • Fracciones y números decimales
    • Paso de una fracción a su forma decimal
    • Paso de un número decimal exacto o periódico a forma de fracción
    • Números racionales e irracionales
  • Fracciones equivalentes. Simplificación
    • Equivalencia de fracciones
    • ¿Cómo conseguir fracciones equivalentes?
    • Simplificación de fracciones
    • Fracciones propias e impropias
    • Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
  • Operaciones con fracciones
    • Multiplicación de fracciones
    • División de fracciones
    • Suma y resta de fracciones
    • Sumas y restas combinadas. Eliminación de paréntesis
  • Aplicaciones de las fracciones. Porcentajes
    • Significado del concepto de fracción
    • Problemas relacionados con fracciones
    • Cálculo de porcentajes

2.1 FRACCIONES Y NúMEROS DECIMALES

INTRODUCCION

En el segundo apartado del curso de Matemáticas online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media) nos centraremos en las fracciones y los números decimales.

 

 Cuando dividimos dos números enteros el resultado puede ser otro número entero ( la división es exacta).

 

Ejemplos:          6 : 3 = 2

(-24) : 8 = -3

 

En cambio, otras veces el resultado de la división no es exacto, en estos casos, da lugar a un número decimal:

 

Ejemplos:        (-3) : 2 = -1,5

3 : 4 = 0,75

1 : 3 = 0,33333...

 

Llamados fracción al cociente indicado de dos números enteros. El resultado de la misma es su expresión decimal.

 

 

 

 

 

 

  FRACCIÓN     EXPRESIÓN DECIMAL

 

 

Es importante saber como se pasa de la forma de fracción a la forma decimal y viceversa. Lo veremos en los dos puntos siguientes

PASO DE UNA FRACCIÓN A SU EXPRESIÓN DECIMAL

Para hallar la forma decimal de una fracción basta con realizar la división entre el numerador (el número de la parte superior) y el denominador (el número de l parte inferior).

Para ello podemos emplear la calculadora.

Al hacerlo pueden presentarse cuatro casos:

 

a) El resultado de la división es un número entero.

8 : 2 = 4

12 : 6 = 2

 

b) El resultado es un número decimal exacto. Es decir, tiene un número finito de decimales.

5 : 4 = 1,75

3 : 8 = 0,375

 

c) El resultado es un número decimal periódico puro. Es decir, las cifras decimales se repiten indefinidamente a partir de la coma.

2 : 3 = 0,6666666... ( el periodo es 6)

1526 : 333 = 0,457845784578... (el periodo es 0,4578)

 

d)El resultado es un número decimal periódico mixto. Es decir, las cifras decimales se repiten pero no justo después de la coma.

37 : 30 = 1,23333333... (el periodo es 3)

65 : 198 = 0.328282828.... (el periodo es 28)

PASO DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO O PERIÓDICO A SU FORMA DE FRACCIÓN

 

Cualquier número decimal exacto o periódico puede ser expresado en forma de fracción. El procedimiento conlleva resolver un ecuación.

 

a) Decimal exacto: tomemos como ejemplo 1,25

 

1 - Llamamos x al número 1,25. 

 

X = 1,25

 

2 - Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para eliminar los decimales. (En el caso del ejemplo hay dos decimales, por tanto, multiplicamos por 100)

 

100x = 125

 

3 - Despejamos la X

 

 

 

 

Por tanto, en nuestro ejemplo resulta 

 

 

 

 

 

Podemos comprobar que si dividimos 125 entre 100 resulta 1,25.

 

 

b) Decimal periódico puro: tomemos como ejemplo 2,36

 

1 -Llamamos x al número.

 

X=2,363636

 

2 - Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para trasladar el pinto decimal hasta después del primer periodo: (en el ejemplo, multiplicamos por 100)

 

 

100x = 236,36363636

 

3 - Restamos las dos expresiones anteriores:

 

x = 2,363636

-

100x=236,363636


99x = 234


4 - Despejamos

 

 

 

 

 

La representación en forma de fracción será:

 

 

 

 

 

 

 

c) Decimal periódico mixto: tomemos como ejemplo 3.123


1 - Llamamos x al número


x = 3,1232323


2 - Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para llevar el punto decimal hasta antes del primer periodo. En nuestro caso como solo hay una cifra decimal, multiplicamos por 10.

 

10x = 31,232323


3 - Multiplicamos otra vez la ecuación anterior por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario para trasladar el punto decimal hasta después del primer periodo ( en nuestro caso multiplicamos por 100). 



1000x = 3123,2323

 

4 - Restamos miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores :

 

10x =31,232323

-

1000x = 3123,232323


990x = 3092

 

5 - Despejamos 

 

 

 

 

 

Por tanto, la expresión de este número en forma de fracción será

NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

 

Hay números decimales que no pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Estos no pueden ser ni enteros, ni exactos, ni periódicos, ya que hemos visto que estos tipos de números si pueden expresarse en forma de fracción.

 

Si un número puede expresarse como una fracción de dos enteros, diremos que se trata de un número racional.

 

En el caso contrario, el número no puede expresarse como una fracción de dos enteros, diremos que se trata de un número irracional.

 

Todos los números que hemos visto en el apartado anterior son racionales. Los números irracionales serán números con infinitos decimales que no se repiten (no son periódicos)

 

Ejemplos:

1,0100010000101000010100001010001...

 

Las raíces de los números que no son cuadrados perfectos dan como resultado números irracionales.

 

 

 

El número 

2.2 FRACCIONES EQUIVALENTES. SIMPLIFICACION

INTRODUCCIÓN

En este apartado del curso online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media), estudiaremos la equivalencia entre fracciones, y el cálculo del M.C.D y el m.c.m.

EQUIVALENCIA DE FRACCIONES

 

Observa la expresión decimal de las siguientes fracciones:

 

 

 

 

Las tres fracciones corresponden al mismo decimal. Cuando eso ocurre decimos que estas fracciones son equivalentes.

Lo expresamos así:


 

 

 

 

Una propiedad que nos permite distinguir fracciones equivalentes es la siguiente:

 

 

 

 

Es decir, cuando las fracciones son equivalentes los productos cruzados de sus términos son iguales.

 

Ejemplo:

 

son fracciones equivalentes, ya que 3 * 8 = 24 y 4 * 6 = 24; por tanto 3 * 8 = 4 * 6.

 


¿CÓMO CONSEGUIR FRACCIONES EQUIVALENTES?

 

Si multiplicamos o dividimos los dos términos de una fracción por un número distinto de cero, la nueva fracción resulta equivalente a la primera:

 

 

 

 

 

Ejemplo:

 

Podemos construir una fracción equivalente a          multiplicando por ejemplo por 3.

 

 

 

 

 

Comprobemos que son equivalentes: 4*30 = 120 y 10*12 = 120. Son equivalentes

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

 

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente pero con los términos lo más sencillos posibles.

A esta fracción obtenida se le llama fracción irreducible El procedimiento consistirá en dividir por el mismo número los

dos términos.

 

  • Vamos a simplificar la fracción 

 

 

Vemos que los términos 10 y 15 se pueden dividir por 5:

 

 

 

 

Luego la fracción simplificada será:

 

 

Si los términos de una fracción son muy grandes, probaremos a ver si son divisibles por 2, 3 y 5. Con esto será suficiente

a efectos prácticos.


 

  • Simplificar la fracción 

 

El denominador no es divisible entre 2, ninguno es divisible entre 5, pero si lo son entre 3:

 

 

 

 

 

 

  • Simplificar la fracción 

 

 

Dividimos por 1000 (quitamos tres ceros) en cada término,

 

 

 

 

y nos queda la fracción        .

 

 

Ahora dividimos por 15:

 

 

 

 



FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS

 

Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. En caso contrario se dice que es impropia.

 

 

son fracciones propias.

 

 

 

son fracciones impropias.

 

 

Una fracción impropia puede escribirse como un número mixto, es decir, un número entero y una fracción propia.

 

 

La fracción impropia , puede escribirse como , que quiere decir:

 

 

 

 

 


 


MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

 

Para trabajar con fracciones será necesario que domines con soltura el cálculo del Máximo Común Divisor (M.C.D.) y el

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.). Recordemos los procedimientos:

 

Tanto para uno como para otro, el paso previo consiste en factorizar (expresar como un producto de factores primos)

los número.

 

En el caso del M.C.D. solo tomaremos los factores comunes con el menor exponente.

 

En el caso del m.c.m. tomaremos todos los factores, y entre los comunes los de mayor exponente.

 

  • Ejemplos:

 

1) Calcular el Máximo Común Divisor de los números 15, 9 y 30:

 

Factorización

 

15 = 5 * 3

9 = 3^2

30 = 2 * 3 * 5

 

Tomaremos el 3. Es el único factor que está en los 3 números. M.C.D. (15 , 9, 30) = 3

 

2) Calcular el mínimo común múltiplo de los números 15, 9 y 30:

 

Factorización

 

15 = 5 * 3

9 = 3^2

30 = 2 * 3 * 5

 

Tomaremos los factores 2, 3^2, y 5. m.c.m. (15,9,30) = 2 * 3^2 * 5 = 90

 

En el caso en que los números sean múltiplos entre sí, el cálculo del M.C.D. y el m.c.m. se simplifica:

 

El M.C.D. será el más pequeño de los números.

El m.c.m. será el más grande de los números.

2.3 OPERACIONES CON FRACCIONES

INTRODUCCION

En este capítulo del curso online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media), estudiaremos las operaciones básicas con fracciones. Suma y resta de fracciones, multiplicación,  y división.

 

Comenzaremos con la multiplicación:

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar dos fracciones, multiplicaremos sus numeradores y sus denominadores por separado.

 

 

 

 

La fracción resultante de la multiplicación es el producto.

 

  • Ejemplo:  Encuentra el producto de              , simplificando el resultado.

 

 

 

1º Multiplicamos las dos fracciones:

 

 

2º Después, simplificaremos la fracción producto:

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir dos fracciones, se invierte la segunda fracción (es decir, se intercambia el numerador y el denominador) y luego se cambia el signo de la división por la multiplicación:

 

 

 

 

 

 

La fracción resultante de la división es el cociente.

 

 

  • Ejemplo: Calcula los siguientes cocientes, simplificando.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

En la suma y resta de fracciones podemos diferenciar dos casos. Fracciones con el mismo denominador o fracciones con

diferente denominador.

 

  • Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

 

 

 

 

 

  • Si las fracciones tienen distinto denominador, primero habrá que buscar fracciones equivalentes con el mismo denominador. Para ello es aconsejable usar el m.c.m. de los denominadores.

 

 

 

 

  • Ejemplo: Calcula la suma de:

 

Dado que los denominadores son distintos, será necesario calcular su m.c.m para obtener las fracciones equivalentes que permitan la suma.

El m.c.m. de 2 y 3 es el producto de ellos mismos. 2 * 3 = 6. Las nuevas fracciones equivalentes deberán tener como denominador el 6.

 

En la primera fracción, debemos multiplicar por 3:

 

 

 

 

En la segunda fracción, debemos multiplicar por 2:

 

 

 

 

 

Una vez que tenemos las fracciones equivalente, procedemos a sumarlas:

 

 

 

 

 

 

 

  • Ejemplo: Calcula la suma de 

 

 

 

[m.c.m (6,8) 8=2*4 ; 6=2*3; mcm=2*3*4=24]

SUMA Y RESTA COMBINADAS. ELIMINACION DE PARÉNTESIS

En general, las fracciones se escriben de forma simplificada (igual que los números enteros).

 

Veamos algunos ejemplos:

 

a)

 

 

b)

 

 

c)

 

 

En el caso de las operaciones combinadas donde se incluyan paréntesis, seguiremos el mismo criterio que con los números enteros:

 

  • En sumas y restas, si delante del paréntesis va un signo + se elimina el paréntesis sin cambiar de signo.
  • En sumas y restas, si delante del paréntesis va un signo - se elimina el paréntesis cambiando todos los signos del interior.

 

 

Cuando haya también productos y cocientes, tendremos en cuenta la jerarquía de las operaciones:

 

  • Primero se efectúan los paréntesis.
  • Luego los productos y cocientes.
  • Por últimos las sumas y las restas.

 

 

 

  • Ejemplo: Calcular

 

 

Primero resolvemos por separado cada paréntesis:

 

 

 

 

 

 

 

 

Después multiplicamos los dos resultados anteriores:

2.4 APLICACION DE LAS FRACCIONES. PORCENTAJES

2.4 APLICACION DE LAS FRACCIONES. PORCENTAJES

INTRODUCCIÓN

Continuamos este curso online de Matemáticas de 4ª de E.S.O. (grado de secundaria o grado de educación media) con una de las aplicaciones de las operaciones con fracciones.

 

Una vez manejamos con cierta soltura las fracciones, vamos a ver algunas de sus múltiples utilidades. Comenzaremos viendo diversos significados del concepto de fracción. Después estudiaremos el cálculo de porcentajes y problemas de aplicación.

SIGNIFICADOS DEL CONCEPTO DE FRACCIÓN

  • Ya hemos visto un significado del concepto de fracción: es una forma de escribir la división de dos números enteros.
  • Otro significado quizá más intuitivo es que una fracción representa una parte de un objeto o una cantidad. Por ejemplo cuando hablamos de las     partes de un rectángulo estamos haciendo referencia al área sombreada del siguiente dibujo:

 

Significado de las fracciones

 

 

En el caso de la fracción impropia        , el dibujo apropiado sería el siguiente:

 

 

Significado de las fracciones

 

Cuando el objeto es una cantidad numérica, la actuación de la fracción es formalmente la misma: se divide la cantidad en tantas partes como indique el denominador de la fracción y se multiplica por las veces que indique el numerador.

 

  • Ejemplo:  Calcula los 

 

Dividiremos 15 entre 5 y multiplicamos por 2:

15:5=3; 3*2=6

 

Los       de 15 son 6.

 

 

Estas dos operaciones se pueden fundir en un producto de fracciones:


PROBLEMAS RELACIONADOS CON LAS FRACCIONES

Vamos a ver a continuación algunos ejemplos de problemas donde tenemos que usar operaciones con fracciones:

 

1.- Pedro comienza el día con 3600 pesetas. Por la mañana se gasta     del total, y por la tarde la mitad de lo que le queda. ¿Cuanto dinero le queda para el día siguiente?

 

Veamos lo que se gasta por la mañana:

 

 

 

Le quedan entonces 3600 - 2400 = 1200 pesetas.

 

Por la tarde se gasta la mitad de lo que le queda:

 

 

 

 

 

Por tanto para el día siguiente le queda:   1200 - 600 = 600 pesetas.

 

 

 

2.- Juan ha pintado      de su habitación el lunes y      de la misma el martes. ¿qué porción de la habitación ha pintado en total? ¿ Cuánto le queda por  pintar?

 

El total de la pintura es lo que ha pintado el lunes más lo que ha pintado el martes:

 

 

 

 

Esto significa que del total de la habitación le queda:

CÁLCULO DE PORCENTAJES

Un tipo de magnitud muy relacionada con las fracciones y muy utilizada en la vida diaria son los porcentajes o tantos por ciento.

 

La palabra porcentaje significa "por cada 100". Los porcentajes se denotan con el símbolo %, de forma que 5% significa "5 de cada 100"; esto se puede escribir en forma de fracción del siguiente modo:

 

 

5%

 

 

  • La afirmación "el 40 por ciento de los alumnos del colegio va al cine una vez a la semana" se interpreta en el sentido de que, si el colegio tuviera 100 alumnos, 40 asistirían al cine una vez por semana. Esta Proporción nos permite averiguar cuantos alumnos son los que van al cine en el colegio:
    • Si hay  100 alumnos en el colegio ................... 40 van al cine.
    • Si hay  200 alumnos en el colegio ................... 80 van al cine.
    • Si hay  300 alumnos en el colegio ................... 120 van al cine.
    • Si hay  400 alumnos en el colegio ................... 160 van al cine.

 

Otra forma de expresar un porcentaje es con el equivalente decimal de la fracción

 

40%

 

 

  • Supongamos que el colegio tiene 750 alumnos y que el 40% va al cine. Queremos averiguar cuántos alumnos representa este porcentaje. 

 

Para ello tenemos dos opciones:

 

a) Aplicamos la fracción al total de alumnos:

 

 

 

 

b) Multiplicamos el equivalente decimal por el total:

 

 

 

 

Por tanto, este porcentaje indica que 300 de los 750 alumnos del colegio van al cine.

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Tema 3:

Potencias

Tema 1:

Números Enteros

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