POTENCIAS

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS Y APLICADAS

CONTENIDO DEL TEMA 3:

 

  • Potencias
    • Regla clave de las potencias
    • Notación científica

 

  • Expresiones con raíces
    • Introducción
    • Reglas clave del cálculo con raíces
    • Suma y resta de radicales
    • Sumas y productos combinados. Eliminación de paréntesis
    • Racionalización de denominadores
    • Potencias de exponente fraccionario

3.1 POTENCIAS

INTRODUCCIÓN

En el tercer apartado del curso de Matemáticas online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media) repasaremos las propiedades fundamentales del cálculo con potencias y radicales. Recordaremos la notación científica y la ampliación a potencias con exponente fraccionario.

REGLAS CLAVE DE LAS POTENCIAS

 

Las definiciones clave de las potencias son las siguientes:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En cuanto a la notación, al número inferior de la potencia se le llama base, y al número de la parte superior se le llama exponente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Junto a las definiciones anteriores, hay que recordar alguna propiedades importantes de las potencias relacionadas con las operaciones básicas:

 

 

 

              1)                                              2)                                                   3)

 

 

 

              4)                                              5)                                                   6)

 

 

Veamos algunos ejemplos donde se usan estas propiedades:

 

 

                a)

 

                b)  

 

                c)

 

 

 

                d)

 

                e)

 

Vamos a añadir un poco de dificultad a los ejemplos anteriores

 

 

Simplifica                  : 

 

Tanto 27 como 9 son potencias de 3, los expresamos de esta manera:

 

 

 

 

 

 

Simplifica                                              : 

 

Abrimos los paréntesis

 

 

 

Multiplicamos por separado los números y las letras:

 

 

 

 

 

Veamos algunos ejemplos donde aparecen exponentes negativos:

 

 

- Elimina los exponentes negativos y simplifica                         :

 

Restamos los exponentes de las potencias en a y b:

 

 

 

 

 

 

- Simplifica                                :

 

Hay varias formas de hacer este ejercicio. Esta es una de ellas:

Como es una fracción elevada a un exponente negativo, le podemos dar la vuelta y transformar el exponente en positivo:

 

 

 

 

 

Simplificamos la fracción antes de abrir el paréntesis:

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica se usa para expresar números muy grandes o muy pequeños de forma sencilla. Esta notación consiste en expresar estos números como el producto de un número menor que 10 por alguna potencia de 10.

Por ejemplo, 35 es escrito como 3.5*10, o 56200 es escrito como 5.62*10^4, ya que:

 

 

 

 

  • Ejemplo:
    • Cómo escribir en notación científica 93000000.

Contamos los lugares desde la derecha del primer dígito hasta el final (o hasta que aparezca un punto decimal). En este caso salen 7 lugares.

Por tanto:

 

 

 

También se puede usar la notación científica para escribir números muy pequeños. Veamos algunos ejemplos:

 

  • Escribe en notación científica 0,00462

 

Contamos los lugares que hay desde la derecha del primer dígito distinto de cero hasta el punto decimal. En este caso hay 3 lugares (462). Como estamos contando de derecha a izquierda el exponente será negativo:

 

 

 

 

Esta notación la suele utilizar la calculadora científica.

Suelen tener una tecla que se llama exponencial EXP.

3.2 EXPRESIONES CON RAICES

INTRODUCCIÓN

En esta sección Del curso online de 4º de ESO ( Secundaría o Grado de Educación Media), vamos a repasar la operación inversa de la potenciación. Calcular una raíz es hacer los contrario de una potencia.

 

 

 

 

 

 

Las raíces cuyo índice es par (y cuyo radicando no sea negativo) tienen dos soluciones: una positiva y una negativa. Así, hay dos números cuyo cuadrado es 25: 5 y -5. Pero nosotros entenderemos que cuando nos pongan el símbolo de raíz cuadrada nos están hablando de la raíz cuadrada positiva.

 

 

 

n es el índice

a es el radicando

 

 

En las raíces cuadradas el índice es 2 y suele omitirse. En las raíces cúbicas el índice es 3.

REGLAS CLAVE EN EL CÁLCULO CON RAÍCES

Las propiedades fundamentales a tener en cuenta en el cálculo con raíces son las siguientes:

 

 

  • 1.-

 

 

  • 2.-

 

 

  • 3.-

 

 

  • 4.-

 

Aplicaremos estas reglas en los siguientes ejemplos:

 

Simplifica:

 

 

 

 

 

 

Calcula:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Multiplicamos por separado los radicales y los coeficientes (factores que hay fuera de la raíz.

SUMA Y RESTA DE RADICALES

Para efectuar la suma o la resta de dos expresiones con raíces, las raíces deben ser iguales. Es ese caso, extraemos factor común de dichas raíces. Esta condición se repite en todas las sumas algebraicas ( sólo podemos sumar o restar cosas que sean iguales).

 

Ejemplos:

 

  • 1

 

  • 2

 

  • 3

 

Este último ejemplo no se puede reducir, ya que el primer término no tiene raíz.

SUMAS Y PRODUCTOS COMBINADOS : LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

Recordemos la forma de la propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

 

 

 

 

Esta es la propiedad que aplicaremos para efectuar operaciones con paréntesis donde haya productos o sumas.

 

  • Para efectuar la siguiente operación                                              , aplicaremos la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis, ya que las raíces dentro del paréntesis no son iguales y no podemos sumarlas:  

 

 

 

 

 

Aplicamos la primera propiedad para eliminar la raíz de los radicando al cuadrado.

 

 

  • Para efectuar la siguiente operación, tendremos que utilizar la propiedad distributiva dos veces.

 

 

 

 

 

 

 

 

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

La racionalización de denominadores es un proceso que consiste en eliminar las raíces del denominador de una fracción. Esto se consigue multiplicando el numerador y el denominador por una expresión adecuada.

 

Veamos algunos ejemplos:

 

 

  • Racionaliza el denominador de la fracción            :

 

 

Para ello, multiplicamos el denominador y el numerador por 

 

 

 

 

 

 

  • Racionaliza el denominador de la fracción               :

 

 

 

 

 

 

 

  • Racionaliza el denominador de           :

 

 

 

 

 

 

 

.

POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO

Cuando en el exponente de una potencia aparece una fracción, esto indica que dicha potencia esta relacionada con una raíz.

 

Las reglas clave son las siguientes:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • El uso de potencias de exponente fraccionario nos permite realizar de forma sencilla cálculos con raices. Veamos algunos ejemplos :

 

 

1.- Efectúa el siguiente producto:

 

Expresamos las raíces como potencias de exponente fraccionario:

 

 

 

Sumamos los exponentes:

 

 

 

 

2.- Efectúa la siguiente división:

 

Expresamos como potencias de exponente fraccionario:

 

 

 

 

Expresamos 16 como potencia de 2:

 

 

 

 

 

Restamos los exponentes:

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Fracciones

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Expresiones Algebraicas

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